Tag 37: Die Gauß'sche Osterformel

Faschingsdienstag ... endlich! Dann hat das ganze z.T. völlig übertriebene Theater wieder ein Ende. Dieses Jahr war sie ja erstaunlich kurz, die fünfte Jahreszeit -- nächstes Jahr wird sie noch ein Stück kürzer: am 9. Februar 2016 ist der nächste Faschingsdienstag.

Daß sich dieses Datum anhand des Ostertermins und dieser wiederum irgendwie an dem Frühlingsmondes festgelegt wird, wusste ich bereits. Aber wie ist es genau? Die grobe Definition lautet seit dem Konzil von Nicäa 325 n.Chr., daß "das Osterfest wird am ersten Sonntag nach dem Frühlingsvollmond gefeiert". Als Frühlingsanfang wurde dabei  der 21. März festgelegt. Damals war der julianische Kalender durchaus noch in Gebrauch, d.h. es gab nach beiden Kalendern (gregorianisch/julisch) insgesamt 35 mögliche Ostertermine. Der früheste Termin ist der 22. März, sofern am 21. März Samstag und Vollmond ist. Der spätmöglichste Termin ist nach gregorianischen Kalender der 26. April, wobei auf dem obig erwähnten Konzil festgelegt wurde, daß als spätester Termin der 25. April (so wie er sich nach Berechnung mit der Grundlage des julianischen Kalenders ergeben würde) in Frage kommt.

Wie berechnet man das nun am besten? Natürlich bietet sich hierfür eine schöne Formel an... das dachte sich auch Gauß und so hat er 1800 folgende Formel in einem Essay veröffentlicht:

Julianischer Kalender	Gregorianischer Kalender
a = Jahr mod 19
b = Jahr mod 4
c = Jahr mod 7
k = Jahr div 100
	p = k div 3
	q = k div 4
M = 15	M = (15 + k − p − q) mod 30
d = (19a + M) mod 30
N = 6	N = (4 + k − q) mod 7
e = (2b + 4c + 6d + N) mod 7
Ostern = (22 + d + e)ter März (Der 32. März ist der 1. April usf.)

(für die Nichtmathematiker: mod steht für den Rest bei einer ganzzahligen Division, div für eine ganzzahlige Division ohne Rest, d.h. die Nachkommastellen werden abgeschnitten).

Dabei bedeuten die verwendeten Variablen folgendes (X ist das Jahr für das das Osterdatum berechnet wird):

1.	die Säkularzahl	K(X) = X div 100
2.	die säkulare Mondschaltung	M(K) = 15 + (3K + 3) div 4 − (8K + 13) div 25
3.	die säkulare Sonnenschaltung	S(K) = 2 − (3K + 3) div 4
4.	den Mondparameter	A(X) = X mod 19
5.	den Keim für den ersten Vollmond im Frühling	D(A,M) = (19A + M) mod 30
6.	die kalendarische Korrekturgröße	R(D,A) = (D + A div 11) div 29[13]
7.	die Ostergrenze	OG(D,R) = 21 + D − R
8.	den ersten Sonntag im März	SZ(X,S) = 7 − (X + X div 4 + S) mod 7
9.	die Entfernung des Ostersonntags von der Ostergrenze (Osterentfernung in Tagen)	OE(OG,SZ) = 7 − (OG − SZ) mod 7
10.	das Datum des Ostersonntags als Märzdatum (32. März = 1. April usw.)	OS = OG + OE

Nicht abgebildet in dieser Berechnung ist der Fakt, daß festgelegt wurde, daß der 25. April der spätmöglichste Ostertermin ist. Dies und eine weitere minimale Änderung nach einem weiteren Beschluss der Kirche sind die einzigen Anpassungen, die es seither bei dieser Formel gab (und die ohnehin nur ganz wenige Ausnahmen betreffen).  

Um euch jetzt das Rechnen zu sparen, hier mal die Ergebnisse für die nächsten Ostertermine: 

2016     27. März;

2017     16. April;

2018       1. April; 

2019     21. April;

2020     12. April.

Daraus lassen sich viele weitere Feiertage und sonstige Termine im Jahresablauf festlegen (Aschermittwoch, Christi Himmelfahrt, Pfingsten). Aschermittwoch findet 46 Tage zuvor statt (40 Tage Fastenzeit plus 6 Sonntage, an denen nicht gefastet wird), Christi Himmelfahrt 39 Tage nach dem Ostersonntag und Pfingsten 49 Tage danach. Hier noch für die, die sich weniger für den christlichen Kalender interessieren, aber mehr für Fasching (damit begann dieser Eintrag ja auch), hier noch die nächsten Termine für den Faschingsdienstag:

2016        9. Februar;

2017      28. Februar;

2018      13. Februar; 

2019        5. März;

2020      25. Februar.

Nun denne: Alaaf und Helau... morgen ist wieder Ruhe ;-)